UNSUR-UNSUR BANGUN RUANG ( GEOMETRI BIDANG)

MAKALAH

UNSUR-UNSUR BANGUN RUANG

D

I

S

U

S

U

N

            OLEH                                     : MARJANI HARIANTO

            SEMESTER                          : III

            MATA KULIAH                  : GEOMETRI RUANG

            DOSEN PEMBIMBING      : TABRANI SPd,MPd

UNSUR-UNSUR BANGUN RUANG

            Bangun ruang merupakan bangun matematika (matematica) yang memiliki isi atau volume. Bangun ruang dalam matematika dibagi menjadi beberapa bangun ruang yakni sisi, rusuk dan titik sudut.

Sisi merupakan bidang pada bangun ruang yang membatasi antara bangun ruang dengan ruangan di sekitarnya, Rusuk merupakan pertemuan dua sisi yang berupa ruas garis pada bangun ruang sedangkan Titik sudut adalah titik dari hasil pertemuan rusuk yang berjumlah tiga atau lebih.

Pada umumnya bangun ruang yang telah kita kenal adalah balok, kubus, prisma, limas, kerucut, tabung dan bola. Pada setiap bangun ruang tersebut mempunyai rumusan dalam menghitung luas maupun isi/volumenya.

1.KUBUS

 A.       DEFINISI KUBUS

Kubus adalah bangun ruang yang berbentuk yang semua sisinya berbentuk persegi.Sisi pada kubus sepasang-sepasang berhadapan satu sisi dinamakan bidang alas atau dasar. Sedangkan sisi yang berhadapan dengan alas dinamakan bidang atas atau tutup. Sisi-sisi yang lainya di namakan sisi tegak atau dinding. Pertemuan dua sisi beruparuas garis dinamakan rusuk.rusuk-rusukbidang atas dinamakan rusuk atas, rusuk-rusuk bidang bawah dinamakan rusuk bawah. Sedangkan rusuk-rusuk yang lainnya dinamakan rusuk-rusuk tegak.                                              

Pertemuan 3 rusuk dinamakan titk sudut atau pojok kubus. Ada 8 sudut sepasang-pasang berhadapan.Diagonal suatu sisi kubus dinamakan diagonal sisi. Dua titik sudut yang berhadapan dalam kubus yang dihubungkan dengan garis à garis tersebut disebut diagonal ruang. Sebagai ilustrasi diagonal AG.

Unsur-unsur kubus :

1.Sisi/bidang

Sisi kubus adalah bidang yang membatasi kubus

2.  Rusuk

Rusuk kubus adalah garis potong antara 2 sisi bidang kubus dan terlihat seperti kerangka yang menyusun kubus. Kubus ABCD.EFGH memiliki 12 rusuk, yaitu AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, AE, BF, CG, dan DH

3.  Titik sudut

Titik sudut kubus adalah titik potong antara 2 rusuk

Kubus memiliki 8 buah titik sudut

4.  Diagonal bidang

Diagonal bidang adalah garis yang menghubungkan titik A dan F yang saling berhadapan dalam satu sisi atau bidang.

5.  Diagonal ruang

Pada kubus ABCD.EFGH terdapat ruas garis HB yang menghubungkan 2 titik sudut yang saling berhadapan dalam 1 ruang, ruas garis tersebut dinamakan diagonal ruang.

6.  Bidang diagonal

Pada gambar terlihat 2 buah diagonal bidang yaitu AC dan GE. Ternyata, diagonal AC dan GE beserta 2 rusuk sejajar yaitu AE dan CG membentuk suatu bidang di dalam ruang kubus bidang ACGE pada kubus ABCD. Bidang ACGE disebut sebagai bidang diagonal.

Sifat-sifat kubus :

1. Semua sisi kubus berbentuk persegi.

Sisi ABCD, EFGH, ABFE, dan seterusnya memiliki bentuk persegi dan memiliki luas yang sama.

1. Semua rusuk kubus berukuran sama panjang
2. Setiap digonal bidang pada kubus memiliki ukuran yang sama panjang
3. Setiap diagonal ruang pada kubus memiliki ukuran sama panjang
4. Setiap bidang diagonal pada kubus memiliki bentuk persegi panjang                              
   
   
   

BDHF à Bidang Diagonal

Ruas garis HF à Diagonal sisi

ABCD sisi bawah / dasar / alas.

EF GH sisi atas / tutup

BC GF dll sisi tegak

B.        LUAS PERMUKAAN KUBUS

Misal panjang rusuk kubus adalah A maka.

Luas kubus : luas ABFE + luas BCGF + luas CDHG + luas ADHE + luas ABCD + luas EFGH

Luas kubus   : a x a + a x a + a x a + a x a + a x a + a x a

: a² + a² + a² + a² + a² + a²   : 6a²

C.       VOLUME KUBUS

Pada gambar (a) tampak kubus satuan yang memiliki 1 satuan panjang. Volume kubus satuan (1 x 1 x 1) satuan volume 1 satuan volume. Pada gambar (b) tampak kubus yang memiliki panjang rusuk 3 satuan volume kubusnya (3 x 3 x 3) satuan volume = 27 satuan volume.

Dengan demikian volume kubus (V) yang memiliki panjang rusuk a dirumuskan

V = a x a x a = a³

Sama dengan V = a x a x = a³

V : Volume kubus
a  : Panjang rusuk kubus

 2.Balok

Balok adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh 6 persegi panjang , di mana setiap sisi persegipanjang berimpit dengan tepat satu sisi persegipanjang yang lain dan persegipanjang yang sehadap adalah kongruen.

1. Sisi atau Bidang

Sisi balok adalah bidang yang membatasi suatu balok. Dari Gambar Di atas, terlihat bahwa balok ABCD.EFGH memiliki 6 buah sisi berbentuk persegipanjang. Keenam sisi tersebut adalah sebagai berikut;

a. ABCD (sisi bawah),
b. EFGH (sisi atas),
c. ABFE (sisi depan),
d. DCGH (sisi belakang),
e. BCGF (sisi samping kiri), dan
f. ADHE (sisi samping kanan).

Sebuah balok memiliki tiga pasang sisi yang berhadapan yang sama bentuk dan ukurannya. Ketiga pasang sisi tersebut adalah;

a. Sisi ABFE dengan sisi DCGH,
b. Sisi ABCD dengan sisi EFGH, dan
c. Sisi BCGF dengan sisi ADHE.

2. Rusuk

Sama seperti dengan kubus, balok ABCD.EFGH memiliki 12 rusuk. Coba perhatikan kembali Gambar tersebut secara seksama. Rusuk-rusuk balok ABCD. EFGH adalah AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, AE, BF, CG, dan HD.

3. Titik sudut

Dari Gambar tersebut di atas, terlihat bahwa balok ABCD.EFGH memiliki 8 titik sudut, yaitu A, B, C, D, E, F, G, dan H. Sama halnya dengan kubus, balok pun memiliki istilah diagonal bidang, diagonal ruang, dan bidang diagonal. Berikut ini adalah uraian mengenai istilah-istilah berikut.

4. Diagonal bidang atau diagonal sisi

Pada gambar balok ABCD.EFGH di atas,  Ruas garis AC yang melintang antara dua titik sudut yang saling berhadapan pada satu bidang, yaitu titik sudut A dan titik sudut C, dinamakan diagonal bidang balok ABCD.EFGH.

Setiap balok memiliki 6 (sisi) dan setiap sisi memiliki 2 (dua) diagonal, maka dapat disimpulkan bahwa sebuah balok memiliki 12 diagonal bidang atau diagonal sisi.

5. Diagonal ruang

Ruas garis CE yang menghubungkan dua titik sudut C dan E pada balok ABCD.EFGH seperti pada Gambar tersebut disebut diagonal ruang balok tersebut.

Jadi, diagonal ruang terbentuk dari ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang saling berhadapan di dalam suatu bangun ruang.

Sebagaimana halnya dengan kubus, Pada setiap balok memiliki 4 (empat diagonal ruang).

6. Bidang diagonal

Sekarang, perhatikan balok ABCD.EFGH pada Gambar tersebut. Dari gambar tersebut terlihat dua buah diagonal bidang yang sejajar, yaitu diagonal bidang HF dan DB.

Kedua diagonal bidang tersebut beserta dua rusuk balok yang sejajar, yaitu DH dan BF membentuk sebuah bidang diagonal. Bidang BDHF adalah salah satu bidang diagonal balok ABCD.EFGH.

Sama halnya dengan kubus, pada setiap balok juga memiliki 4 (empat) bidang diagonal di dalamnya.

3.Prisma

Unsur-unsur Prisma

Unsur- unsur yang dimiliki oleh suatu prisma :
1.  Titik sudut
2.  Rusuk.
3.  Bidang sisi.

Ciri-ciri suatu prisma:
1.  Bidang atas dan bidang bawah berbentuk bangun datar
2.  Bidang atas dan bidang bawah sejajar serta kongruen
3.  Mempunyai bidang sisi tegak


1.  Prisma Segitiga ABC.DEF

• Mempunyai 6 titik sudut, yaitu : Titik A, B, C, D, E, dan F
• Mempunyai 9 rusuk , yaitu : Rusuk alas AB, BC, dan AC; Rusuk atas DE, EF, dan DF Rusuk tegak AD. BE, dan CF
• Mempunyai 5 bidang sisi, yaitu : Sisi alas ABC ; sisi atas DEF dan Sisi tegak ABED, BCFE dan ACFD

2.  Prisma Segiempat ABCD. EFGH   

• Mempunyai 8 titik sudut, yaitu : Titik A, B, C, D, E, F, G dan H
• Mempunyai 12 rusuk , yaitu : Rusuk alas AB, BC, CD dan DA; Rusuk atas EF, FH, GH, dan EG Rusuk tegak EA. FB, HC, dan GD
• Mempunyai 8 bidang sisi, yaitu : Sisi alas ABCD ; sisi atas EFGH dan Sisi tegak ABFE, BCHF, CDGH dan ADGE

3.  Prisma Segilima ABCDE.FGHIJ

• Mempunyai 10 titik sudut, yaitu : Titik A, B, C, D, E, F, G, H, I, dan J
• Mempunyai 15 rusuk , yaitu : Rusuk alas AB, BC, CD, DE dan EA Rusuk atas FG, GH, HI, IJ dan JF Rusuk tegak FA. GH, HI, IJ dan JE
• Mempunyai 7 bidang sisi, yaitu : Sisi alas ABCDE ; sisi atas FGHIJ Sisi tegak ABGF, BCHG, CDIH, DEJI, dan AEJF

4.  Prisma Segienam ABCDEF.GHIJKL

• Mempunyai 12 titik sudut, yaitu : Titik A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K,  dan L
• Mempunyai 18 rusuk , yaitu : Rusuk alas AB, BC, CD, DE, EF dan FA ;
  Rusuk atas GH, HI, IJ, JK, KL dan LG  
  Rusuk tegak GA. HB, IC, JD, KE dan LF
• Mempunyai 8 bidang sisi, yaitu : Sisi alas ABCDEF ; sisi atas GHIJKL dan
  Sisi tegak ABHG, BCIH, CDJI, DEKJ, EFLK dan FAGL

5.  Prisma Segienam ABCDEF.GHIJKL

• Pada prisma segi-n banyaknya :
• Titik sudut =  2n
• Rusuk       =  3n
• Sisi           =  n+2

4.Tabung

pengertian tabung adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua sisi yang sejajar dan kongruen berbentuk lingkaran  serta sisi lengkung.

Unsur-unsur yang dimiliki oleh tabung hampir sama seperti unsur-unsur yang dimiliki oleh  lingkaran. Apa saja unsur-unsur dari bangun ruang tabung?

Untuk mengetahui unsur-unsur bangun ruang tabung perhatikan gambar di bawah ini.

Berdasarkan gambar di atas, tabung memiliki unsur-unsur sebagai berikut.

a. Sisi alas dan tutup tabung

Seperti yang dijelaskan di atas bahwa tabung dibatasi oleh dua buah lingkaran yakni bagian bawah (sisi alas) dan bagian atas (tutup tabung). Sisi alas tabung merupakan sisi yang berbentuk lingkaran dengan pusat T1 (lihat gambar di atas), sedangkan tutup tabung merupakan sisi yang berbentuk lingkaran juga dengan pusat T2 (silahkan lihat gambar di atas).

b. Pusat Lingkaran

Ingat** salah satu unsur lingkaran adalah pusat lingkaran. Begitu juga dengan tabung, di mana titik T1 pada sisi alas dan T2 pada tutup tabung dinamakan pusat lingkaran. Pusat lingkaran merupakan titik tertentu yang mempunyai jarak yang sama terhadap semua titik pada lingkaran itu.

c. Jari-Jari Lingkaran

Sekarang perhatikan titik A dan B pada lingkaran alas tabung dan titik C dan D pada lingkaran tutup tabung. Ruas garis T1A dan T1B dinamakan jari-jari lingkaran (jari-jari bidang alas tabung) dan ruas garis T2C dan T2D merupakan jari-jari lingkaran (jari-jari bidang tutup tabung). Dalam hal ini T1A = T1B = T2C = T2D. Jari-jari lingkaran merupakan jarak pusat lingkaran ke titik pada lingkaran.

d. Diameter atau Garis Tengah Lingkaran

Sekarang perhatikan ruas garis AB dan CD. Ruas garis AB dan CD dinamakan diameter atau garis tengah lingkaran. Diameter lingkaran merupakan ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran yang melalui titik pusat lingkaran. Panjang diameter lingkaran merupakan dua kali jari-jari lingkaran.

e. Tinggi Tabung

Sekarang perhatikan titik T1 dan T2. Ruas garis yang menghubungkan titik T1 dan T2 dinamakan tinggi tabung, biasanya dinotasikan dengan t. Tinggi tabung disebut juga sumbu simetri putar tabung.

f. Selimut Tabung

Selimut tabung sering disebut dengan sisi lengkung tabung. Selimut tabung dapat ditentukan dengan cara mengalikan antara keliling alas dengan tinggi tabung. Adapun garis-garis pada sisi lengkung yang sejajar dengan sumbu tabung dinamakan garis pelukis tabung.

Dengan unsur-unsur dari bangun ruang tabung yang sudah dijelaskan di atas, kita bisa menentukan luas permukaan tabung.

5.kerucut

Kerucut adalah bangun ruang sisi lengkung yang menyerupai limas segi-n beraturan yang bidang alasnya berbentuk lingkaran.

Menurut kamus besar bahasa Indonesia, kerucut berarti gulungan meruncing dari kertas atau daun atau kelopak bamu untuk tempat kacang dan sebagainya.

Atau pengertian lain menurut sumber yang sama, bahwa kerucut adalah benda atau ruang yang beralas bundar dan merunjung sampai ke satu titik.

A.Asal-usul kerucut

Kerucut dapat dibentuk dari sebuah segitiga siku-siku yang diputar sejauh 360 derajat, dimana sisi siku-sikunya sebagai pusat putaran

Kerucut pada gambar tersebut di atas dibentuk dari segitiga siku-siku TOA yang diputar satu putaran penuh (360 derajat) dengan sisi TO sebagai pusat putaran.

B.Unsur-unsur kerucut

Perhatikan gambar kerucut berikut ini!

Berdasarkan gambar kerucut tersebut di atas, dapat disimpulkan bahwa kerucut tersebut memiliki unsur-unsur sebagai berikut;

a. Bidang alas, yaitu sisi yang berbentuk lingkaran (daerah yang diarsir).
b. Diameter bidang alas (d), yaitu ruas garis AB.
c. Jari-jari bidang alas (r), yaitu garis OA dan ruas garis OB.
d. Tinggi kerucut (t), yaitu jarak dari titik puncak kerucut ke pusat bidang alas (ruas garis CO).
e. Selimut kerucut, yaitu sisi kerucut yang tidak diarsir.
f. Garis pelukis (s), yaitu garis-garis pada selimut kerucut yang ditarik dari titik puncak C ke titik pada lingkaran.

Hubungan antara r, s, dan t pada kerucut tersebut di atas dapat dinyatakan dengan persamaan-persamaan berikut, yang bersumber dari teorema pythagoras, yaitu:
s² = r² + t²
r² = s² − t²
t² = s² − r²

C.Jaring-jaring kerucut

Tidak banya jenis dan model untuk jaring kerucut, karena kerucut merupakan bangun ruang sisi lengkung yang bentuknya sangat relatif.

Berikut ini merupakan salah satu contoh jaring-jaring pada kerucut, sebenarnya masih dapat dikembangkan menjadi model-model yang lain.

6.Limas

Limas adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah segi banyak (segi n) dan segitiga-segitiga yang mempunyai titik puncak persekutuan di luar bidang segibanyak itu.

Diantara unsur-unsur limas segi empat adalah sebagai berikut:

a. Sisi atau Bidang

Coba perhatikan bentuk limas pada Gambar di atas. Dari gambar tersebut, terlihat bahwa setiap limas memiliki sisi samping yang berbentuk segitiga.
Pada limas segiempat E.ABCD, sisi-sisi yang terbentuk adalah sisi ABCD (sisi alas), ABE (sisi depan), DCE (sisi belakang), BCE (sisi samping kiri), dan ADE (sisi samping kanan).

b. Rusuk

Perhatikan kembali limas segiempat E.ABCD pada Gambar di atas. Limas tersebut memiliki 4 rusuk alas dan 4 rusuk tegak. Rusuk alasnya adalah AB, BC, CD, dan DA. Adapun rusuk tegaknya adalah AE, BE, CE, dan DE.

c. Titik Sudut

Jumlah titik sudut suatu limas sangat bergantung pada bentuk alasnya. Setiap limas memiliki titik puncak (titik yang letaknya atas).
Perhatikan uraian berikut ini!
- Limas segitiga memiliki 4 titik sudut,
- Limas segiempat memiliki 5 titik sudut,
- Limas segilima memiliki 6 titik sudut, dan
- Limas segienam memiliki 7 titik sudut.

d. Diagonal Bidang atau diagonal sisi

Pada limas sebenarnya juga memiliki diagonal bidang atau diagonal sisi yang jumlahnya tergantung dari jenis limasnya. Misalnya Limas segi empat hanya memiliki 2 diagonal bidang.

e. Bidang diagonal

pada limas juga memiliki bidang diagonal yang terbentuk dari diagonal bidang pada sisi alasnya dengan dua rusuk sampingnya.
Untuk diagonal ruang, memang pada bangun ruang Limas jenis apapun tidak memiliki diagonal ruang.

7.Bola

Bola merupakan bangun ruang sisi lengkung yang dibatasi oleh satu bidang lengkung. Bola dapat dibentuk dari bangun setengah lingkaran yang diputar sejauh 360° pada garis tengahnya. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini. 

Gambar di atas merupakan setengah lingkaran dengan diameter AB dan diputar satu putaran penuh dengan diameter sebagai sumbu putar maka akan tampak gambar seperti di bawahnya. Nah gambar setelah diputar merupakan bangun ruang bola.

Sama seperti bangun ruang tabung dan kerucut, bola juga memiliki unsur-unsur. Untuk mengatahui unsur-unsur bangun ruang bola perhatikan gambar di bawah ini. 

Adapun unsur-unsur bangun ruang bola sebagai berikut.

a. Jari-Jari Bola

Sekarang perhatikan titik A dan O. Ruas garis AO dinamakan jari-jari bangun ruang bola. Jari-jari bangun ruang bola merupakan jarak titik pusat bola ke titik pada kulit bola. Dalam hal ini titik pusat bola adalah titik O.

b. Diameter Bola

Sekarang perhatikan ruas garis AB. Ruas garis AB dinamakan diameter bangun ruang bola. Diameter bola merupakan ruas garis yang menghubungkan dua titik pada sisi bola yang melalui titik pusat bola. Panjang diameter bola merupakan dua kali jari-jari bola. Diameter bola dapat pula disebut tinggi bola.

c. Sisi Bola

Sisi bola adalah kumpulan titik yang mempunyai jarak sama terhadap titik O. Sisi tersebut dinamakan selimut atau kulit bola. Ruas-ruas garis pada selimut bola yaitu ACBDA dinamakan garis pelukis bola.